前言

我们在学习高等数学时就见过 ε-δ 语言。一旦涉及到无穷，收敛，连续的证明，就一定离不开这些奇怪的文字。比如说极限，应该是一个很简单直观的概念，但是它的定义却非常复杂（至少对于一个初学高等数学的人来说），这样复杂的概念都是为了严谨性。对于一个工科生来说，掌握 ε-δ 语言并不是必要的，但是因为最近在学习实分析和泛函分析，还是需要回来重温一下这个令我们抓狂的 ε-δ 语言。

下面，我将对 ε-δ 给出我自己的思考。

引入——函数的极限

x 趋于 a 时函数的极限

设实函数 f 与定义域 D_f， a \in \R 为函数的极限点，且 L \in \R，

则 L 为 f 在 a 上的极限，记作：

x 趋于无穷时函数的极限

设实函数 f 与定义域 D_f，且 L \in \R，

则 L 为 f 在正无穷大时的极限，记作：

可以看到，函数的极限是由 ε-δ 这两个奇怪的符号定义的，这种命题形式叫做 ε-δ 语言。可以看到，这些命题的前面一定会有一个：

从程序的角度，这个可以理解为声明了两个工具变量，供我们使用。下面，我会一步步剖析这样的一个命题语言。

Forall ε > 0

我们先来看看第一个 “变量” \forall \varepsilon > 0。

在上面的定义中，我们可以看到 ε 的使用方法 |f(x) - L| < \varepsilon。可以看出，ε 用来限定函数值 f(x) 与极限 L 之间的距离，这是一个纵坐标上的距离。接下来，我们把这两个式子合起来看：

\forall \varepsilon > 0 使用了一个巧妙的命题的方式让 ε 逼近 0。可以看到，ε 的取值可以是 1, 0.1, 0.00001, 0.000...0001，无论多接近 0 都没问题（只要不等于 0）。我们用一个任意符号，和一个大于零，就能做出一个逼近 0 的效果。当然 |f(x) - L| 是一个距离，所以不可能是负数。这样我们就能通过一个逼近 0 的 ε 将 |f(x) - L| 限定到 0 附近。

Exist δ > 0

除了对函数值与极限的纵向距离进行约束，我们当然也需要对自变量和极限点之间的横向距离进行观测。

我们来看看第二个 “变量” \exist \delta > 0。在上面的定义中，x 分别有两种趋近方式：趋于一个值 a，和趋于无穷。我们先来看看趋于 a 的情况。

因为我们已经有了一个约束 \forall \varepsilon > 0，所以 δ 的作用不再是主动约束这个距离 |x - a| 逼近 0。相反，我们是需要观察在 ε 的约束下，是否总是存在一个 δ，能让这个条件满足。

我们先把 δ 的声明和用法单拎出来看：

可以看到，δ 依然是限定了这个距离 |x - a| 在 0 和 δ 之间。经过上面对 ε 的讨论，这里应该很好理解了。

Forall ε > 0, Exist δ > 0

最后，我们把 ε 和 δ 放在一起：

我们先用文字整理一下：对于任意大于 0 的 ε，存在大于 0 的 δ 使 0 < |x - a| < \delta 命题包含 |f(x) - L| < \varepsilon 命题。

说人话：无论 ε 多逼近 0，都能找到一个 a 附近的 x 使得 f(x) 更接近 L（这也说明了 δ 的存在性）。这里 ε 的作用就是把 f(x) 和 L “夹住”，然后使用 δ 观察命题是否成立。我们可以把 δ 看作一个关于 ε 和 a 的函数 \delta(\varepsilon, a)，在证明一个函数的极限时就需要用到 δ 这个工具，构造出一个 \delta(\varepsilon, a) 使得上面的 \Rightarrow 恒成立。

说完了 x 趋于 a 的情况，x 趋于无穷的情况也很简单了。就是将 0 < |x - a| < \delta 改为 x > \delta，让 x 往大的方向走。当然，趋于负无穷的情况也是同理，改为 -x > \delta 即可。

讲了这么多，现在我们再回到上面，看一遍极限的定义，应该就会有不一样的感受了。